Дарья росла в творческой семье: мама — актриса Марина Левтова, папа — режиссер Юрий Мороз. Уже в три месяца малышка дебютировала в кино в драме Динары Асановой «Милый, дорогой, любимый, единственный…». В школьные годы девочка снималась в картинах «Черный квадрат», «Русский регтайм», «Кризис среднего возраста», а параллельно посещала секцию фигурного катания, анимационную студию и театральный кружок.
Родители видели, что дочь склоняется к выбору актерской профессии, и рассказали ей о предстоящих сложностях на этом поприще. В какой-то момент Мороз даже передумала поступать в театральный вуз и решила пойти в МГИМО. Но тут вмешался случай: Георгий Данелия пригласил девушку на роль Маши Сорокиной в фильм «Фортуна», и на «Кинотавре-2000» Дарью отметили Специальным упоминанием жюри. Институт международных отношений был благополучно забыт, а Школа-студия МХАТ раскрыла артистке свои объятья.
Примерно тогда Мороз ощутила, что детство закончилось, но не из-за поступления в вуз, а вследствие страшной трагедии. Зимой девушка и ее мама решили покататься на снегоходе, однако водитель не справился с управлением, и они врезались в дерево. Марина Левтова умерла на месте, Дарья отделалась переломами и ушибами.